MATEMATIKA ZA TEHNIČKE VISOKE ŠKOLE – 3.dio (matematika promjena, matematičke strukture)
03.11.2010
Sadržaj
5 Matematika promjena 1
5.1 Pojam derivacije………………………………………………………………………. 5
5.1.1 Osnovna ideja………………………………………………………………… 5
5.1.2 Brzina jednolikog gibanja……………………………………………… 7
5.1.3 Brzina nejednolikog gibanja………………………………………… 11
5.1.4 Brzina promjene i derivacija………………………………………… 21
5.1.5 Računanje derivacije po definiciji……………………………….. 24
5.1.6 Derivacija kao funkcija………………………………………………… 27
5.2 Račun derivacija…………………………………………………………………….. 32
5.2.1 Osnovna ideja………………………………………………………………. 32
5.2.2 Tablične derivacije …………………………………………………… 35
5.2.3 Pravila deriviranja……………………………………………………….. 41
5.2.4 Pravilo za kompoziciju funkcija………………………………. 48
5.2.5 Derivacije višeg reda……………………………………………….. 51
5.3 Derivacija je brzina promjene…………………………………………….. 56
5.3.1 Gibanje po pravcu………………………………………………………… 56
5.3.2 Brzina promjene u raznim situacijama…………………………. 66
5.4 Derivacija je nagib tangente……………………………………………………. 70
5.4.1 Tangenta………………………………………………………………………. 70
5.4.2 Normala i kut među krivuljama……………………………….. 73
5.5 Derivacija je najbolja linearna aproksimacija…………………………. 80
5.5.1 Linearna aproksimacija………………………………………………… 80
5.5.2 Diferencijal………………………………………………………………….. 84
5.5.3 Teorem o srednjoj vrijednosti………………………………………. 93
5.6 Antiderivacija ili neodređeni integral …………………………………… 97
5.6.1 Pojam antiderivacije ………………………………………………….. 97
5.6.2 Elementarni račun neodređenog integrala………………… 102
5.6.3 Primjena neodređenog integrala na gibanje čestice . . . 107
5.7 Pojam određenog integrala……………………………………………………. 114
5.7.1 Osnovna ideja……………………………………………………………. 114
5.7.2 Promjena položaja kod jednolikog gibanja………………. 115
5.7.3 Nejednoliko gibanje…………………………………………………. 116
5.7.4 Rad sile……………………………………………………………………. 122
5.7.5 Pojam određenog integrala………………………………………. 127
5.7.6 Računanje određenog integrala………………………………… 131
5.7.7 Postojanje određenog integrala………………………………… 134
5.8 Elementarni račun određenog integrala………………………………. 137
5.8.1 Osnovni teorem diferencijalnog i integralnog računa . . 137
5.8.2 Elementarna pravila za određeni integral…………………. 143
5.8.3 Dokaz osnovnog teorema…………………………………………. 148
5.9 Primjena određenog integrala…………………………………………….. 154
5.9.1 Osnovna ideja………………………………………………………….. 154
5.9.2 Neke primjene u fizici……………………………………………… 154
5.9.3 Površina lika……………………………………………………………. 161
5.9.4 Srednja vrijednost funkcije …………………………………… 164
5.10 Diferencijalne jednadžbe……………………………………………………. 168
5.10.1 Pojam diferencijalne jednadžbe……………………………….. 168
5.10.2 Analitički pristup – metoda separacije varijabli……….. 174
5.10.3 Kvalitativni pristup – polje smjerova……………………….. 181
5.10.4 Numerički pristup – Eulerova metoda………………………. 191
5.10.5 Modeliranje pomoću diferencijalnih jednadžbi – nuklearna energija…… 194
5.10.6 Diferencijalne jednadžbe drugog reda – harmonički oscilator…….. 198
6 Neke matematičke strukture 207
6.1 Vektori……………………………………………………………………………….. 209
6.1.1 Pojam vektora………………………………………………………….. 209
6.1.2 Zbrajanje vektora…………………………………………………….. 213
6.1.3 Množenje vektora brojem ……………………………………….. 223
6.1.4 Reci to vektorom……………………………………………………… 226
6.1.5 Reprezentacija vektora…………………………………………….. 230
6.1.6 Skalarni produkt ……………………………………………………. 238
6.1.7 Vektorski produkt……………………………………………………. 249
6.1.8 Mješoviti produkt…………………………………………………….. 258
6.2 Sustavi linearnih jednadžbi i matrice ……………………………….. 268
6.2.1 Gaussov postupak……………………………………………………. 268
6.2.2 Cramerovo pravilo…………………………………………………… 280
6.2.3 Algebra matrica…………………………………………………………… 283
6.2.4 Geometrija matrica……………………………………………………… 297
6.3 Kompleksni brojevi………………………………………………………………. 312
6.3.1 Algebra kompleksnih brojeva………………………………….. 312
6.3.2 Geometrija kompleksnih brojeva…………………………….. 317
6.3.3 Kompleksni brojevi i izmjenične struje……………………. 323